Инвестиционная оптимизация технических систем с непрерывно изменяемыми параметрами при проектировании

И. Н. Ковалев, доцент Института управления, бизнеса и права, Ростов-на-Дону

Постановка вопроса

Классической задачей по обеспечению минимальных затрат при создании и эксплуатации линий электропередач (ЛЭП) напряжением свыше 1000 В является, например, поиск экономически целесообразной площади сечения провода данной ЛЭП [1]. Аналогичная задача решается и при поиске оптимальной толщины утепляющего слоя стен зданий. Традиционно применяемая здесь целевая функция (ЦФ) приведенных затрат З имеет вид (1).

На рис. 1 показаны зависимости двух составляющих приведенных затрат в функции сечения провода x, а также график суммарных приведенных затрат З = f (F). Последняя зависимость для ЦФ вида (1) – сумма ординат линейно-возрастающей составляющей и гиперболической – обладает примечательной особенностью, названной в литературе законом Кельвина. Последний постулирует [2], что в точке минимума З_min с абсциссой Х_опт имеет место пересечение составляющих затрат КЕ и С, следовательно, в точке оптимума затраты на провод (инвестиционная составляющая) равны затратам на потери электроэнергии в линии (эксплуатационная составляющая) (2), поэтому можно записать формулу в виде (3). Позже, в числовом примере, мы будем основываться на этих соотношениях.

Рисунок 1. Затраты на провод линии электропередач и их составляющие

В плановой экономике показатель Е нормировался, и его значение соответствовало обычно применяемому нормативному сроку окупаемости Т_н = 8 лет дополнительных инвестиций (при тотальном планировании других видов инвестиций не могло быть по определению) (4).

И сейчас для государственных дополнительных инвестиций используются также нормативные сроки окупаемости Т_ок, которые подлежат, однако, расчету с учетом дисконтирования получаемых дополнительных доходов. При этом нормативный показатель Е_нд рассчитывается [3–6] по формуле (5).

Возникает вопрос: как рассчитывать нормативный показатель Е в рассматриваемой непрерывной задаче, если, согласно выводам работы [3], критерием эффективности инвестиций целесообразно назначать не какой-то срок их окупаемости Т_ок, а заданную рентабельность инвестиций, то есть индекс их доходности [ИД].

Обозначения в формулах А – обобщенная константа, характеризующая потери электроэнергии в линии на нагрев в зависимости от материала провода, проходящего тока линии и др. Е – некоторый нормативный коэффициент (показатель) Ен – прежний нормативный показатель (плановая экономика) Енд – нормативно-дисконтный показатель g – множитель для сечения проводов b– стоимость 1 кВт•ч электроэнергии, руб. к – удельная стоимость 1 мм2 линии, руб. r – средняя норма дисконта за срок службы инвестиционного оборудования или материалов t – время, годы Т – срок службы инвестиционного оборудования или материалов, годы Т0 – бездисконтный срок окупаемости, годы Тн – нормативный бездисконтный срок окупаемости, годы Ток – нормативный срок окупаемости с учетом дисконта будущих доходов, годы x – площадь сечения провода линий электропередач, мм2 Д – средний ежегодный доход, возникающий за счет инвестиций в оборудование или материалы, руб./год. Для инвестиций в энергосберегающие мероприятия – средняя величина ежегодного снижения эксплуатационных издержек ДД – общий (суммарный) дисконтированный доход, руб. ИД – индекс доходности инвестиций З – приведенные затраты, руб. К – единовременные капитальные вложения (физические инвестиции) в оборудование или материалы, руб. С – годовые производственные затраты, руб./год ЧДД – чистый дисконтированный доход, руб.

Рассмотрим потоковую диаграмму инвестиционного процесса на протяжении Т = 25 лет (рис. 2), отражающую рост дохода от «последней порции» (ПП) инвестиций в параметр х стоимостью ΔК = 1. Здесь прямая 1 отражает бездисконтный рост эффективности ПП, что отвечает коэффициенту (4) плановой экономики для решения самых разнообразных непрерывных задач с различными ЦФ. Кривая 2 описывает рост дисконтированных доходов при r = 0,16 (16%) и том же заданном сроке окупаемости Т_ок = 8 лет. При этом согласно (5) Е_нд = 0,23. Кривая 3 отвечает заданному [ИД] = 1, ее построение рассмотрено ниже.

Кривая дисконтированного дохода ДД(t) (2 или 3), которая предопределяет выгодность инвестиционного предприятия, зависит от двух экономических показателей:

1) начальный наклон d(ДД)/dt|_{t = 0}, определяемый номинальной величиной дохода Д (в расчете на момент инвестиций t = 0) или бездисконтным сроком окупаемости Т₀ = К/Д;

2) расчетная величина нормы дисконтирования r [4].

Значения основных критериев эффективности инвестиций ΔК (общий дисконтированный доход ДД, чистый дисконтированный доход ЧДД и индекс доходности ИД = ЧДД / / ΔК) определяются по указанным выше двум параметрам с использованием соответствующих формул [3–6].

В рыночной экономике, при наличии экзогенной переменной r, приходится к ней приспосабливаться, чтобы обеспечить необходимую эффективность инвестиций К. В бизнесе дело обстоит проще: если при заданных Д и r выгодность проекта не устраивает инвестора, рассматриваются иные варианты использования денежных средств. В государственных вложениях иначе: приходится выбирать варианты в рамках планового объекта, сопоставляя по эффективности дополнительные инвестиции при парных сравнениях вариантов строительства и отбраковке «проигравших».

Если вернуться к рассмотренной выше задаче с непрерывными инвестициями, то это, например, означает следующее: нужно обязательно строить линию электропередачи или здание с утепляющим слоем, но какое взять сечение провода и какую толщину утеплителя, заранее неизвестно, и эти величины нужно обосновать. Сейчас таким критерием служит, как уже сказано, срок окупаемости Т_ок. Но этот критерий также обладает недостатком, и в [3] об этом говорится. Наглядно это легко представить, рассчитав в общем виде ИД для некоторого инвестиционного процесса, для которого в качестве критерия эффективности задан некоторый срок окупаемости Т_ок для ПП инвестиций К. В известной [5] формуле (6) выразим Т₀ через Т_ок посредством другого известного [4] соотношения (7). В результате имеем (8), что после подстановки в (5) после элементарных преобразований дает (9).

Так, для кривой 2 на рис. 2 индекс доходности, рассчитанный по формуле (9), равен 0,4, что явно недостаточно. На рис. 3 представлены зависимости (9) от r, Т_ок и Т = 15 лет. Отсюда следует, что нормативный срок Т_ок = 8 лет вообще не имеет смысла применять в расчетах эффективности государственных инвестиций ввиду малой доходности их «последней порции» (ИД < 0,5). Срок окупаемости в 5 лет допустимо применять при r < 0,15 (15%), то есть при достижении экономикой страны установившихся темпов качественного роста. В ближайшие же годы нужно ориентироваться на Т_ок = 3 года. Это первый практически значимый результат анализа.

Рисунок 2. Диаграммы денежных потоков для «последней порции» инвестиций

Расчетный алгоритм применения индекса доходности в качестве нормативного показателя

Рассмотрим величину ИД для инвестиций DК (рис. 2) в качестве независимой переменной, значение которой [ИД] следует задавать в качестве норматива, обеспечивающего достаточную доходность ПП инвестиций. Для использования целевой функции (1) в такой постановке, необходимо найти зависимость нового показателя Е (обозначим его Е_ид) от величины [ИД].

Это нетрудно сделать. Удорожание DК оправданно, если, согласно (6), выполняется неравенство (10) или (11).

Пусть стоимость ПП оптимизируемого параметра x равна DК = К_n+1 – К_n (n – общее количество порций до оптимизации) и оправдана снижением DС = С_n – С_n+1 производственных затрат согласно (11). Эти величины участвуют в (11) своим соотношением – величиной бездисконтного срока окупаемости Т₀ удорожания К, поэтому (11) можно записать так (12). Отсюда, сосредоточив слева и справа величины, относящиеся к n~ и n~ + 1 порциям, нетрудно получить выражение для минимизируемой ЦФ (1) в виде (13).

Сформировалась, как видим, новая форма коэффициента приведения Е_ид (14), зависящего от заданного индекса доходности [ИД] и нормы дисконта (рис. 4). Нетрудно убедиться в том, что при ИД ≥ 1 реально всегда выполняется неравенство (15). Поскольку эти коэффициенты, согласно (1), действуют в сторону увеличения стоимости инвестиций, соотношения (15) повышают экономическую надежность вложенных средств за счет рационального снижения инвестиций вообще и инвестиций в параметр х в непрерывных задачах.

Отметим и то, что экономическое содержание рассмотренной задачи с непрерывными инвестициями по п. 3 (см. выше) значительно богаче, чем инвестиционные задачи с неделимостями. Условия минимизации (16) затрат (1) задают, по сути дела, «правила остановки» при наращении инвестиций в параметр х отдельными порциями, и заданное значение [ИД] относится к «последней порции» вкладываемого таким образом капитала.

Целесообразно напомнить, что основополагающие упрощенные расчетные формулы (6) и (7), полученные в [5, 6] на основе доказанной возможности усреднять перспективные значения величин r и Д на интервале Т работы инвестиционного оборудования, позволили сформировать довольно перспективную модель потокового инвестиционного процесса (рис. 2). Условие допустимости такого упрощения определяется ограничением диапазона изменения данных величин половиной их максимальных значений [5]. Данное обстоятельство явилось методической основой для дальнейших исследований [3, 4].

Рисунок 3. Зависимость индекса доходности инвестиций от нормы дисконта и нормативного срока их окупаемости

Оптимизация функции Кельвина методом ИД

Проиллюстрируем методику применения критерия ИД на примере оценки экономического состояния существующей сети линий электропередач страны напряжением выше 1000 В с позиции целевой функции (1). Минимизация (1) заключается в дифференцировании (1) по искомым переменным x и приравнивании к нулю полученных уравнений (16). Отсюда следует сепарабельность решения для каждой линии в отдельности [2, 4, 5] (17).

Подстановка (17) в (1) приводит к минимальному значению приведенных затрат в виде закона Кельвина (3) и для каждой в отдельности ВЛ, и для всего их множества в целом. Экономически решать данную проблему можно двумя способами:

• изучать соотношение современного уровня цен к и b в (17) и назначать значение экономического коэффициента Е;
• заниматься анализом соотношения (3).

Первый подход изложен в [7, 8, 9]. Далее рассмотрим второй подход с использованием статистических данных по расходу проводникового алюминия в энергосистемах страны и потерям электроэнергии [10]. Эти два пути анализа приводят к одинаковому результату.

Прежде всего, нужно сравнить приведенную стоимость всего провод-никового алюминия со стоимостью годовых потерь электроэнергии в рассматриваемых сетях, которые, согласно закону Кельвина, в оптимальном состоянии должны быть одинаковы. Мера неодинаковости, во‑первых, обнаружит степень отклонения от оптимума, во‑вторых, укажет на направление корректировки системы.

Необходимая для анализа статистика по длинам и сечениям проводов всех указанных ВЛ взята из [10]. Суммарная протяженность ВЛ напряжением 6–35, 110–1150 кВ в одноцепном исчислении – порядка 2 млн км. Задаваясь усредненной величиной сечений для линий разного класса напряжения и удельной плотностью алюминия, получаем ориентировочный его вес на три фазы около 2 млн т.
При цене алюминия на уровне 4500 долл. США за 1 т (современные котировки) суммарная стоимость проводов составит К≈9 млрд долл. США. Годовые потери электроэнергии в указанных линиях порядка 10% от суммарного годового электропотребления W≈1000 млрд кВт•ч, то есть DW≈100 млрд кВт•ч.
Соответствующая стоимость потерь С определялась исходя из стоимости b≈0,2 долл. США/кВт•ч при внутренней цене на газ, приблизительно равной среднемировой [8, 9]. В результате приведенные затраты составляют (18). Расчет ведем в долларах США ввиду того, что в стране пока не установился ценовой паритет свободного рынка между металлами, углеводородами и электроэнергией.

Рассматриваемые сечения всего множества ВЛ энергосистем когда-то рассчитывались в плановой экономике по государственным ценам 1950‑х и 1960‑х годов. Ценовая структура на первичные и вторичные энергоносители (электроэнергию) и цветные металлы тогда соответствовала эпохе дешевого топлива и совершенно не была похожей на сложившуюся после энергетического кризиса 1973 года структуру. Этим во многом и можно объяснить то, что при подстановке в (18) значения Е_н = 0,125 получаем соотношение между составляющими затрат, далекое от их равенства и свидетельствующее о прежней дороговизне металлов по сравнению с электроэнергией. Выясним, каким образом следует нормализовать данное соотношение. Очевидно, речь идет о постепенном наращивании сечений проводов, по мере плановых реконструкций и строительства новых линий. Во сколько раз целесообразно наращивать сечения (обозначим множителем g соответствующий рост) – это и определяет критерий ИД эффективности предельных инвестиций. Очевидно, что потери будут снижаться также в g раз.

Таблица Значения составляющих затрат при различных формах приведения инвестиций К в процессе минимизации затрат

Еi КЕi З0 = К • Еi + С g Зmin = (К • Еi) g + С/g Ен 0,13 1,2 1,2 + 20,0 = 21,2 4,0 4,8 + 5,0 = 9,8 Енд 0,23 2,1 2,1 + 20,0 = 22,1 3,1 6,5 + 6,4 = 12,9 Еид 0,33 3,0 2,8 + 20,0 = 22,8 2,7 7,6 + 7,4 = 15,0

В таблице приведены значения двух составляющих затрат (и затрат в целом) при трех рассмотренных выше видах коэффициента приведения Е и для двух состояний энергосистем страны: для текущего и с учетом возможной корректировки согласно критерию (3). В качестве исходных данных, влияющих на предельную эффективность инвестиций, приняты следующие значения: Т_н = 8 лет (без дисконта и с его учетом); Т = 25 лет; r = 0,16; ИД = 1.

В соответствии с полученными результатами делаем следующие выводы. Все три методики позволяют найти минимум приведенных затрат (1) при «своем» коэффициенте приведения Е. Но абсолютные величины З_min не несут значимого экономического смысла. Более того, они способны вводить в заблуждения, поскольку минимум-миниморум относится к методу плановой экономики, что совершенно противоречит реальности. Попутно делаем следующий немаловажный вывод по поводу той роли, которую играют приведенные затраты (1): они способны лишь формально, в качестве математического инструмента, приводить к оптимальному решению в рамках критерия экономической оптимальности инвестиций. И если такой критерий неудачен (как это и было с бездисконтным сроком окупаемости в плановой экономике), то абсолютное значение З_min несет ложную информацию [3].

Как же следует интерпретировать полученные результаты? Прежде всего, метод ИД направлен на осторожное наращивание капиталовложений в металл проводов, увеличение его по сравнению с текущим состоянием всего
в g = 2,7 раза и снижение во столько же раз потери электроэнергии в линиях. Метод Т_ок указал на целесообразность увеличения сечения в g = 3,1 раза, но при индексе доходности ПП ≈ 0,4 (рис. 2). И совсем расточительным оказался метод плановой экономики, согласно которому сечения проводов нужно увеличивать в 4 раза.

Таким образом, сечения высоковольтных ВЛ следует по возможности увеличивать примерно в 2,5 раза, что явится важным шагом к энергосбережению в электроэнергетике.

Рисунок 4. Зависимость коэффициента приведения от нормативного индекса доходности инвестиций и нормы дисконта

О «конспирологических версиях» на тему приведенных затрат

Широко распространенную в мировой практике целевую функцию (1), имеющую простую математическую модель оптимизации, периодически сопровождали различные субъективные версии, основанные на интуиции и произвольных толкованиях процесса оптимизации. Так, часто гиперболу затрат С(x) рассматривают вне связи с заданной прямой инвестиций К(х), и это вполне естественно рождает желание «экономить инвестиции», поскольку убывание гиперболы «замедляется».

Однако это расплывчатое стремление экономить государственные деньги вполне четко и определенно учтено самой моделью (1) в виде удельной стоимости параметра х – углом наклона прямой К(х) – рис. 1. Если у проектировщика есть подозрение, что эта стоимость занижена, ее следует соответственно корректировать, угол наклона прямой возрастет, и оптимальное значение х соответственно уменьшится.

Во‑вторых, кривую суммарных затрат З(х) столь же часто рассматривают также в отрыве от модели в целом. Делается упор на то, что изменение затрат З(х) в области х_min «незначительно», и вновь проступает желание экономить государственные средства путем отступления от точки минимума влево. Здесь расплывчатое понятие «незначительно» опять вступает в противоречие с математической строгостью вопроса.

Повторим еще раз: оптимальным решением задачи (1) является точка минимума затрат, а роль объективного фактора оптимизации играют цены (в частности, в виде величин к и b) и критерии эффективности инвестиций в виде коэффициентов приведения Е_н, Е_нд и Е_ид. Другое дело, что в силу возможной дискретности значений параметра х приходится его «округлять» вправо или влево, но выбирать из этих двух вариантов следует тот, которому отвечают меньшие затраты, но не меньшие инвестиции.

Выводы

• Применять срок окупаемости инвестиций в качестве нормативного показателя при определении оптимального варианта из числа технически равноценных нецелесообразно.
• В качестве критерия эффективности дополнительных инвестиций рекомендуется использовать показатель ИД ≥ 1.
• Понятие и функцию приведенных затрат следует рассматривать только как инструмент формального определения оптимального состояния инвестиционного процесса, не придавая им каких-либо дополнительных экономических характеристик.

Литература

1. Веников В.А., Глазунов А.А., Жуков Л.А., Солдаткина Л.А. Электрические системы.Т. 2. Электрические сети. Под ред. В.А. Веникова.М. : Высшая школа, 1971. 440 с.
2. Астахов Ю.Н., Веников В.А. и др. Электрические системы. Кибернетика электрических систем. Под ред. Веникова В. А. М. : Высшая школа, 1974. 328 с.
3. Ковалев И.Н. Особенности оценки экономической эффективности долгосрочных инвестиций в энерго-сберегающие мероприятия // Энерго-сбережение.– 2013.– № 2.
4. Ковалев И.Н. Умеренная инфляция – необходимое условие практической реализуемости энергосберегающей стратегии // Энерго-сбережение.– 2011.– № 8.
5. Дмитриев А.Н., Ковалев И.Н., Табунщиков Ю.А., Шилкин Н.В. Руководство по оценке эффективности инвестиций в энергосберегающие мероприятия.М. : АВОК-ПРЕСС, 2005. 120 с.
6. Ковалев И.Н. Непрерывная модель инвестиционного процесса при неопределенности исходной информации // Международная конференция «Новые технологии в управлении, бизнесе и праве», ИУБиП, Невинномысск, 2004.
7. Ковалев И.Н., Осипов М.А. Об эко-но-мически целесообразных плотностях тока в линиях электропередачи энергосистем // Электричество.– 1999.– № 9.
8. Ковалев И.Н. Оценка уровня перспективной себестоимости электроэнергии // Энергосбережение.– 2007.– № 6.
9. Карзаев В.И., Ковалев И.Н. Нормализация тарифов в электроэнергетике как средство обеспечения инвестиционно-амортизационных ресурсов // Энергосбережение.– 2009.– № 9.
10. Волков Э.П., Баринов В. А., Маневич А.С. Проблемы и перспективы развития электроэнергетики России.М. : Энергоатомиздат, 2001. 432 с.